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      小學數學數形結合數學教學

      時間:2021-12-01 11:11:51 瀏覽次數:
      導讀: 摘要《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出,數學是研究數量關系和空間形式的科學。所有的數學問題

      摘 要 《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出,數學是研究數量關系和空間形式的科學。所有的數學問題無外乎是數與形的問題,也是兩個最古老最基本的對象,是數學大廈深處的兩塊基石。小學生正是從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關鍵階段,數形結合思想正是學習數學的橋梁。研究顯示,近一年開始重視“數形結合”思想在教學中的滲透;
      教師在教學中存在引導學生“數”與“形”之間轉化困難;
      缺少對數形結合課程的教學反思;
      缺乏對數形結合全面性的認識以及滲透比較片面單一;
      在教學中應用具體實例少。在小學數學中,數形結合思想貫穿始終,涉及到教師教學、學生學習、學生解決問題等方面。因此,要增強教師專業素質;
      提升數形結合思想的認識;
      從學生角度出發分析問題,把握關鍵信息引導作圖;
      進行教學反思,梳理教材內容構建對數形結合整體認知;
      加強師范生和在職教師對數形結合課程的培訓;
      有效地結合直觀方式才能提高教學質量,培養學生的思維能力,提升數學素養。

      關鍵詞:小學數學;
      數形結合;
      數學教學 Abstract The Mathematics Curriculum Standard for Compulsory Education (2011 Edition) points out that mathematics is a science to study quantitative relations and spatial forms. All the mathematical problems are almost about the problems of number and shape, which are the two oldest and most basic objects, and the two footstones in the depth of the mathematical building. Primary school students are the key stage of the transition from concrete image thinking to abstract logic thinking, and the thought of combination of numbers and shapes is the bridge of learn mathematics. The research shows that in the past year, teachers have begun to pay attention to the infiltration of the idea of “combination of numbers and shapes“ in teaching; teachers have difficulties in guiding students to transform between “numbers“ and “shapes“; lack of teaching reflection on the course of “combination of logarithm and shape“; lack of comprehensive knowledge of “combination of logarithm and shape“ and relatively one-sided and single penetration; and lack of specific examples in teaching. In primary school mathematics teaching, the thought of the combination of numbers and shapes runs through all the time, involving teachers' teaching, students' learning, students' problem solving and so on. Therefore, it is necessary to trengthen the professional quality of teachers, enhance the understanding of the idea of combining numbers and shapes, analyze problems from the perspective of students,grasp key information to guide the drawing, reflect on teaching,sort out the content of teaching materials, sort out the content of teaching materials to build the overall cognition of combining logarithm and shapes, strengthen the training of combining logarithm and shapes courses for normal students and in-service teachers, and effectively combine intuitive ways to improve teaching quality, cultivate students the ability of thinking and improve mathematical literacy. Key words:primary school mathematics; combination of numbers and shapes; mathematics teaching 目 錄 摘要 Ⅰ Abstract Ⅱ 一、緒論 1 (一)研究背景 1 (二)研究目的 1 (三)研究意義 1 (四)研究方法 2 二、 數形結合相關研究綜述 2 (一)國外相關研究概述 2 (二)國內相關研究概述 3 1. 數形結合的概念界定 3 2. “以形助數” 5 3. “以數解形” 6 4. “數形互助” 6 5. 數形結合其他相關研究 7 三、小學數學數形結合思想現狀訪談與分析 8 (一)訪談提綱設計 9 (二)小學數學教師基本情況 9 (三)小學數學數形結合思想教學的訪談情況分析和存在問題概述 9 四、數形結合在小學數學第一學段教學中應用策略 10 (一)教師加強專業素質,提升數形結合思想的認識 10 (二)運用多種直觀方式,實現數形結合教學 11 (三)把握問題關鍵,從學生角度出發引導作圖 13 (四)整理教材內容,建構整體認知 14 五、結論與局限 16 (一)結論 16 (一)局限 17 致謝 18 參考文獻 19 附錄 訪談記錄 21 一、緒論 (一)研究背景 “數形結合”在數學中是不僅是一種最常用最基礎的數學方法,也是一個非常重要的數學思想。所有的數學問題是數與形的問題,也是兩個最古老最基本的對象。計數是數的起源,從古代用各種實物“形”表示“數”,到用抽象“形“表示“數”,“形”在數學的發展過程當中有著密不可分的關系。數形結合,是用圖形轉化使數量關系直觀化,或者用代數來研究幾何圖形,二者相輔相成。

      (二)研究目的 義務教育數學課程將六年的學習時間劃分為兩個學段,第一學段為一至三年級,第二學段為四至六年級。處在小學階段第一學段的學生,年齡在6-9歲之間。該階段的學生學習受家庭環境、個性、興趣、理解能力等多種因素影響,但是小學兒童思維以具體形象思維為主,且抽象邏輯思維具有具體形象性。把握思維的這一特點,有效結合數形結合思想應用在小學數學的學習當中,融入教學課堂促進學生在對數學知識的思考和理解,對數形結合思想的應用落到實處來解決問題,來提升學生數學素養。研究切實可行的數形結合思想的有效教學策略,為教師課堂教學和引導學生學習思考提供可供參考的建議。

      (三)研究意義 1. 理論意義 本研究對相關文獻梳理,了解到現階段數形結合在小學數學教學中應用情況,教學研究水平,存在問題及實踐策略等問題,為開展相關研究提供了一定的參考和借鑒依據。在小學數學教學中,數形結合能為學生提供準確的形象材料,使抽象關系具體化,更能直觀感受數學,提高教師教學效果。梳理小學數學第一學段教材內容,豐富教師對數形結合的認識,提升該思想的重視程度,加強學科專業素養,對教學中存在的問題提出了相應的應對策略。教師充分利用數形結合進行教學,提升學生數學素養,使學生學懂數學、學會數學。

      2.實踐意義 通過閱讀有關小學數學數形結合的文獻資料,結合第一學段中存在數形結合內容分析,有針對性地對小學數學一線教師的教學進行調查。結合調查結果分析問題,提出數形結合在小學數學第一學段教學應用的策略。對教材內容有一個整體性的認識,幫助教師能夠靈活地運用數形結合來促進教學,創造出高效的有趣的數學課堂,來提升學生數學思維能力。

      (四)研究方法 本課題研究主要采用文獻研究法、訪談法、內容分析法。

      文獻研究法:學習國內外學者研究有關“數形結合思想”、“教學策略”、“小學數學”等文獻,將內容主要分為:數形結合的概念界定、“以形助數”、“以數解形”、“數形互助”和數形結合其他相關研究這五個方面來認識數形結合在小學數學中的教學意義。本文所參考的國外著作類文獻共1篇,國內文獻共16篇,其中期刊論文14篇,學位論文2篇。

      訪談法:調查者通過與調查對象交談來了解情況、收集資料的一種調查方法。本研究選擇分別為一至三年級的3位數學老師和五年級的1位數學老師進行訪談,了解對數形結合的認識以及當前數形結合的教學現狀和問題。問卷提綱參考至胡穎《數形結合在小學第二學段教學中的運用研究》中的教師訪談提綱進行了部分刪減和修改,結合實際情況進行了補充。

      內容分析法:分析的對象是小學第一學段數學教科書,分析的角度是以數形結合的教學應用為主,整理出與課程內容對應的教學方法。

      二、數形結合相關研究綜述 (一)國外相關研究概述 Natalia Marmasse, Aggelos Bletsas, Stefan Marti(2000)在《數字機制和兒童的數字概念》提到了奧卡普明(Oksapmin)計數系統是基于人的27個部位,在Starkey(1992)的研究表明通過從箱子中放球取球來表達數感受數,以及在兒童算數發展的基礎是用手指或者是尺子來表示并計算。Essays(2018)在《教數學》也提到了用身體做出“形”,吃葡萄干來數數計算。早期的數形結合,通過身體部位或者是實物作為“形”來表示數,也是能夠最真實直觀來感受數量變化。

      在搜索國外文獻的過程中,國外并沒有引入與數形結合的相關內容,僅此一篇相關性較強的文獻中是屬綜合性的文獻,文中提及的內容在數形結合思想發展中相對初步,并未進行深入探究。

      (二)國內相關研究概述 國內有關數形結合思想的文獻豐富,主要分為五個方面來討論,分別是數形結合的概念界定、“以形助數”、“以數解形”、“數形互助”、數形結合其他相關研究。

      1.數形結合的概念界定 數形結合是數學的基石,貫穿數學學習始終。在中國知網搜索“數形結合”關鍵詞,至2019年12月,共找到了10536條結果,與“小學數學”有關的有706條結果,其中博碩士論文有7條結果占其中的0.99%。2019年與“數形結合、小學數學”相關的文獻有明顯增多,說明開始重視在小學數學中數形結合思想的培養,但是并未對此內容進行詳盡的研究。“數形結合”即把數量關系和空間形式緊密聯系起來。數形結合沒有明確的定義,只能給一種界定。

      張英(2019)認為,數形結合思想即數和形之間的對應關系,經過數和形的互相轉化,可將相對抽象的數學語言和直觀的圖形有效融合,并利用這一方式處理數學問題的方法。[11]這是從對應關系來闡述的。

      羅增儒(2001)認為,數學是一種信息的轉換和加工,即通過抽象的數量關系解釋圖形的性質和實質,或者通過直觀的圖形解釋抽象的數量間的邏輯關系。[14]這是從信息轉化和加工方向來解釋的。

      徐斌艷(2003)認為,數形結合實質上就是將抽象的思維同形象的思維、邏輯的思維同直觀的思維相結合來解決問題。[16]這是從邏輯思維方向來理解的。

      王友蓮(2018)認為,是通過圖形形象和直觀的展示數學知識和理論, 幫助學生具體地了解和掌握數學知識,形成較好的學習認知。[1]這是從學生學習數學來定義的。

      綜上所述,數形結合在小學數學階段,是將直觀化的圖形和數學語言通過信息加工和轉化,形成數學認知系統,應用于解決實際問題。在數學中,數形結合是一種教學策略,解決問題的一種工具,但這一思想活躍于生活的方方面面。

      2.“以形助數”的相關研究 低年級的兒童在初次接觸數學的時候會出現理解障礙,林麗華(2019)根據低年級的兒童喜歡畫畫這一興趣愛好運用在數學課堂學習上,將知識轉化為繪畫的圖紙上,啟發他們的數學能力,理解數學,初步形成數形結合思想。

      聯系生活實際狀況,尋找具體化的數學教學方式,張東梅(2019)認為:“在講述具體概念時,使用常見物品加工穿插理論概念,進行數字化分析。”[9]通過圖形演化來展示公式的由來;
      通過具體實物或圖片,建立簡便的理解體系。改變單一的文字教學,通過數形結合來降低學生對數學的理解難度,來提高教學效果。

      數形結合思想滲透在小學數學四個學習領域中。因此,汪渭芳(2010)認為,運用數形結合來進行概念、算理、數量關系的教學。具體實物發展到具體形象再到抽象這一過程不是一蹴而就,在新知識教學過程當中理解其數學內涵更加重要。

      張英(2019)認為,在解決問題的過程中,將算式形象化,指導學生建立數和形之間的關系,以形解數,是學生理解并掌握算理的有效手段。能調動學生對算理的理解,加深對計算的理解,也是一個行之有效的手段。

      曾華倩(2017)指出以形解數, 將數學教學變得更加直觀, 培養學生科學的邏輯思維能力, 提升學生數學素養。培養良好的數學素養對學習數學有著積極的作用,對生活各方面也有一定的影響。

      通過以上文獻分析,數形結合在小學數學中涉及范圍廣泛,在“以形助數”中,通過繪畫、事物、圖片等各種“形”來豐富課堂教學,使得學生用眼觀察、開發大腦進行思考,將“形”和“數”之間不斷進一步轉化思考,加深對數學知識含義的理解,從而促進對數學的理解和體會。

      3.“以數解形”的相關研究 江忠(2018)認為,利用數形結合的思想方法引導小學生積極探索,讓他們處于“憤悱”狀態而獲得真正的啟發。

      [4] 運用策略為在問題瓶頸處設計圖形,引領學生探究,如同解題的關鍵鑰匙,掌握了便可尋找到最終答案。

      數學實際問題的有效解決是鍛煉小學生多層面思維能力的關鍵,因此雷正風(2019)指出快速把握試題中的條件、問題和相關的具體關系,理解、分析的基礎上通過數形結合思想的應用來解答數學試題。抓住題目問題的關鍵,建立數學圖形來分析問題,使得問題簡單化。

      王友蓮(2018)認為“將把數量關系的問題轉化成圖形的問題,使復雜的問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易。” [1]借助“簡易圖”“線段圖”理解數學內容和數量關系,是數形結合表現的一種方式。

      宋英海(2015)提到“形”具有直觀、形象的特點,但是不夠精確,小學數學的圖形簡單,但往往一眼就能看到底的圖形卻不一定看得清、看得明白,需要借助數與代數等方式來計算解決。

      通過以上文獻分析,遇到數學問題的瓶頸時,把握題中的條件和關系,建立圖形來分析、解決、理解,“以數解形”將問題直觀化、簡單化,將算式形象化。數學圖形也需要通過數與代數來進一步分析探究數學問題,來保證結果的精確性和縝密性。

      4.“數形互助”的相關研究 張英(2019)提出,在分析問題時,依據問題具體狀況,將圖形轉變為數量關系,或將數量關系轉變為圖形,使復雜的問題簡易化,抽象問題具體化、直觀化。數形轉化的過程中調動學生思維的發展,推動綜合能力的提升。

      王海中(2019)提出,在教學研究中,應該從“數”和“形”的角度分別來認識數學,最后做到“數”“形”相結合。[2]“數”和“形”之間相互轉化而構成了數學,因此掌握了數形結合就把握了數學中行駛的一艘巨輪。

      通過以上文獻分析,“數”“形”在數學中不能只存在其中一個,二者相輔相成促進教師教和學生學,相結合才能相互促進和滲透,推動數學的發展。數學只是數形結合的一個方面,是基礎,它還存在于生物、地理、歷史等各個學科當中,是不可或缺的一部分。

      5.數形結合其他相關研究 谷淑萍(2019)認為,在滲透數形結合思想的教學中,首先教師要對數形結合有深刻的理解后,明確教學目標,然后滲透數形結合,培養學生的數學思維與能力,理解數學意義。并在傳授新知、復習舊知、問題解決中,實現多樣化滲透數形結合思想。重視這一思想,教師應當有對數形結合有更加深刻的理解和認識。

      石江山(2019)認為,為了能讓學生能受到良好的數學素養教育,形成正確的數形結合思維,教師需要將數學思維、解決實際問題、知識技能等方面進行有機的結合,用以實現總體教學目標。教師應將數形結合思想的培養整合進教學目標,學生為學習的主體,進行不斷的思想滲透。

      通過以上文獻分析,教師是向學生不斷滲透數形結合思想的學習過程中的關鍵,因此教師要有對數形結合思想有正確的認識,明確的教學總目標,通過教學過程中不斷強化來培養這一思想,促進數學素養的提升。

      綜上所述,國內文獻綜述對數形結合做了深入的探究,針對小學數學的相對較少。小學階段是學生正式學習數學的起點,是教師有目的、有計劃、有組織的系統性地進行教學,是今后學習的基礎,也是生活的基本技能。因而在促進小學數學教學的過程中,數形結合是貫徹教學始終,也必然是重中之重。從2019年開始文獻內容增多,側面反映出教師開始重視數形結合思想,大多數的文獻比較零散,片面單一,因此本課題對從五個方面對數形結合進行綜合的整理歸納。數形結合思想通過繪畫、實物、圖片等各種形式,聯系生活實際,引導學生不斷觀察以啟發對數學相關知識的理解和感悟;
      通過分析問題中的條件建立數學模型來分析推理,調動學生的數學思維和推理能力;
      通過對圖形分析進行進一步推算解決實際問題,“數”和“形”在數學中缺一不可,二者相輔相成,相互促進發展。

      三、小學數學數形結合思想現狀訪談與分析 (一)訪談提綱設計 本次教師訪談提綱的內容參考至胡穎《 數形結合在小學第二學段教學中的運用》中的教師訪談提綱。首先,對教齡的內容調整放置于對教師基本情況了解當中,刪除 “1.您的教齡是”。其次,可通過對訪談內容分析來判斷教師對數形結合了解的程度,因此刪除 “2.請問您對‘數形結合’ 了解多少”。

      第三,“8.您覺得在解決問題時‘數形結合’有哪些獨特的優勢?”、 “9.在今后的教學中,您會使用‘數形結合’幫助教學嗎?”和 “10.你會如何使用“數形結合”幫助教學?”該三個問題類似比較相似,因此進行刪減保留問題10。第四,通過第一次對教師的訪談,為能有更進一步了解增加了兩道問題分別為“在進行師范教育時是否有學習數形結合應用的課程?如果有,課程安排的多嗎”和“目前教師在職培訓的課程中,是否需要增加數形結合運用的教育內容”。最后,訪談提綱共8道題目。

      訪談提綱的內容主要是調查教師對數形結合思想是否有了解,是否對小學數學中數形結合思想有一個系統性的認識。課前是否會考慮數形結合來進行教學,對其重視程度和是否在教學中滲透與應用,來有意識的培養學生數形結合思想。再進一步了解教師對師范教育時是否有進行數形結合的學習,以及入職以后對數形結合的課程是否有需求。以下內容是教師訪談提綱:
      1.您認為“數形結合”在小學重要嗎? 2.在上課時您會使用“數形結合”進行教學嗎?哪種課型運用較多呢? 3.在備課時您會將數形結合寫進教學目標嗎? 4.您是否梳理過教材中蘊含數形結合思想方法的知識點? 5.您覺得在教學中運用“數形結合”存在哪些問題呢? 6.您會如何運用“數形結合”幫助教學? 7.在進行師范教育時是否有學習數形結合應用的課程?如果有,課程安排的多嗎? 8. 目前教師在職培訓的課程中,是否需要增加數形結合運用的教育內容? 表3-1 小學數學教師基本情況 · 性別 學歷 任教年資 現任教年級 是否擔任班主任 訪談時間 第二次訪談時間 W教師 女 本科 2年 五年級 是 2020.3.25 X教師 女 本科 30年 一年級 否 2020.2.29 2020.3.28 Y教師 女 本科 13年 二年級 否 2020.3.1 2020.3.29 Z教師 女 本科 22年 三年級 否 2020.3.13 2020.3.29 (二)小學數學教師基本情況 本次訪談的教師分別是一、二、三、五年級的小學數學老師,學歷都為本科學歷,對教學教材研究有著相對扎實的基礎。這四位老師都是一線在職教師,對教學現狀有最直接感受,其中第一學段的教師都是十年任教年資以上,有豐富經驗,并無擔任班主任,能更能夠專心教育教學事業。本次訪談是通過電話聯系,微信進行訪問的方式,對第一學段的教師分別進行了兩次訪談以及五年級的數學老師訪談了一次。

      (三)小學數學數形結合思想教學的訪談情況分析和存在問題概述 首先,在職教師缺乏對數形結合全面性的認識。通過此次的訪談結合問題一、二、三、四可以看出,無論是第一學段的教師還是高年級教師都認可數形結合在整個小學數學教學當中的重要性,并重視數學教學過程中的應用。在備課時會將數形結合寫進教學目標,說明教師對數形結合有一定的了解,備課過程中會考慮到運用數形結合方法來進行教學。有意識運用數形結合來組織教學,但從教起并沒有對此進行一個完整的具有系統性的知識梳理,多數教師對小學數學教學過程中數形結合沒有一個全面的認識。

      其次,在教學過程中存在引導學生“數”與“形”之間轉化困難。問題五提及到教學中運用“數形結合”存在哪些問題,第一學段的學生和五年級的學生對比,都存在“數”和“形”之間轉化難。學生的生活經驗少,造成理解題目難,動手畫圖難的現象。因此,在數學教學過程當中,教師對于抽象的概念課要運用各種直觀方式來一層層加深學生的理解和感受。在計算課和解決實際問題時,教師需要將復雜問題簡單化,將抽象算法算理形象化,利用數形結合能夠將問題或者計算從圖形向數字、符號之間進行相互轉化。

      第三,教學中對數形結合的滲透比較片面單一。針對問題五進一步分析中,在各種課型中計算課運用到數形結合的頻率較高,這是因為在小學解決實際問題過程中需要借助圖形來分析題目開拓思路。教師對數形結合的運用限制于幫助學生來解理抽象的概念、算法算理以及解決實際問題方面。在小學數學教學過程中,例如圖形與幾何是需要通過數來解決問題的,這也說明了教師對數形結合的認識不夠全面,對數形結合的應用也主要是“以形助數”這一方面。在需要用到數形結合時才會考慮運用在教學中,并不能很好對學生數形結合思想的滲透。

      第四,教師缺少對數形結合課程的教學反思。在問題六中問到今后如何運用數形結合來幫助教學中,教師有意識優先考慮學生的學習特點,結合教學經驗因材施教,但是在具體如何運用在整個教學過程中認識的比較片面,并且教師都是針對自身如何加強對學生的引導,沒有考慮是要在學習中如何滲透數形結合思想,培養學生的數學素養,缺乏建立系統性的教學方法。

      第五,目前教學情況,教師對數形結合內容需求師范教育和在職培訓課程有待提高。根據問題七和八再結合文獻和在職教師的訪談,說明整個小學教育階段愈發重視數形結合在教學中的地位,對師范教育中重視對數形結合應用的培養,但是專門對數形結合的研究不夠全面完善,只是進行了相關課程的安排,說明在師范教育中沒有形成一個完整的體系。教師都認可在職培訓課程中增加該教育內容,說明體系的不完整對目前小學數學教學應用學習的需求。

      小學數學教學中,教師要有專業的學科知識素養,充分理解體會“數”和“形”是數學的基石,提高數形結合思想的意識。

      四、數形結合在小學數學第一學段教學中應用策略 (一)教師加強專業素質,提升數形結合思想的認識 教師認可數形結合在數學教學中的地位,但在教學中對此的滲透比較單一片面,沒有對數形結合課程的教學反思,主要是缺乏對數形結合全面的認識,沒有建立系統性的教學方法。教師應加強自身學習,對數形結合思想有充分的認識和理解,才能有意識滲透數形結合思想。

      教師要對加強專業素質,開展一節有效的數學課要具備:一是正確地解讀教材,讀懂并合理利用教材內容安排教學的內容。每篇教材地編寫都具有它的科學性,所以不能脫離教材,標新立異。二是課堂組織能力,能放手讓學生動手實踐討論,也要能夠收回學生的注意力。三是具備精煉的語言表達能力,向學生提問啟發思考或是引導學生畫圖時,問題要簡短精煉。

      教師提升數形結合思想意識,才會在教學當中有意識地培養學生的數形結合思想。備課時要將數形結合的滲透加入教學目標,要具體從學期到單元到課時,明確采用是哪種數形結合的類型,以及如何滲透數形結合、如何進行教學實現教學目標,都是需要教師梳理,通過學生學習情況反饋來不斷進行教學反思加以改進,使學生數形結合思想得到更好的發展。

      (二)運用多種直觀方式,實現數形結合教學 針對上述問題概述中,“數”“形”轉化難,因為學生的生活經驗少,造成理解題目難,動手畫圖難的現象。教師要運用多種直觀方式豐富學生對有關事物及規律的感性認識,才能促進對數形結合的培養。在一堂數學課中,為了讓學生能夠體會并理解數學意義,建立數感、空間幾何等常常需要綜合多種“形”,將抽象的概念直觀化,教師主導課堂教學遵循循序漸進,不斷轉化后逐步深入理解。

      以小學數學(人教版)三年級上冊“長方行和正方形”單元中第一課時“長方形和正方形的認識”為例,要求學生觀察長方形的特點。聯系生活實際找到生活中長方體和正方體,因此教師出示一個長方形的實物先讓學生進行觀察。通過自主探究后,再讓學生動手操作畫一個長方形,在大腦中建立長方形的模象。在構建長方形的過程也是學生體會和應用長方形的過程,在教學中往往會忽略這樣模塊的教材安排,認為使得教學變得繁瑣,所以用課件圖片展示讓學生想象來教學。在動手操作過程是讓學生體會數學中初步建立空間幾何觀念不可缺少的重要成分,是不能被省略的。

      “數”和“形”并不僅限于本論文中提到的,還有多種多樣的形式存在,讀懂教材合理運用“形”幫助“數”的轉化和理解,使學生學會數學、感受數學,而不是會用數學。

      (三)
      把握問題關鍵,從學生角度出發引導作圖 圖4-1 針對上述問題概述中數形結合的滲透片面單一,主要用于理解抽象的概念、算法算理以及解決實際問題方面。在教師訪談當中作圖是模象直觀的其中一種方式,也是幫助學生解決實際問題中的一種重要手段。作圖尤為是“數”與“形”的轉化的難點,問題在于如何有效引導學生作圖——抓住關鍵點。以小學數學(人教版)三年級上冊“三位數乘一位數”中“筆算乘法”第七課時為例(如圖4-1所示)。

      這節課的難點在如何從學生角度看待問題,引導學生畫出線段圖。在前一節課已經有了作圖的經驗,這節課需要將圖形轉化成線段這樣的方式來表示更加簡潔明了。在這道問題當中,學生已經能夠畫圖表示買6個6元的碗以及知道總價、單價、數量之間關系的經驗,教師要把握“用這些錢”這一關鍵詞,重點在引導學生畫出與6個6元的碗一樣長的線段。很多教師會反復強調“用這些錢”說明要畫兩條一樣長的線段,但是學生會一知半解困惑于為什么是一樣長的線段,容易把學生繞進題目當中去。因此,教師先提問 “用這些錢是指什么錢”,學生們探討后追問“說明什么是不變的”。把握關鍵詞后,提出關鍵的問題,學生受到啟發明白總價是不變的,找出題目中所蘊含數量關系以及畫出線段與數量關系一一對應,重點是總價相等的兩條線段。

      從學生已有的知識經驗水平出發,看待數學問題時要把握關鍵信息,提出關鍵問題來啟發學生作圖。同樣的在講評練習時,教師也要有意識的培養學生動手作圖,促進數形結合思想滲透。

      (四)整理教材內容,建構整體認知 在師范教育中并沒有針對數形結合的內容有一個完整的教學課程安排,入職后多數教師并未對此進行知識點的梳理。數形結合在師范教育中的學習不夠全面,一線教師的在職培訓課程的不足。因此需要在增加數形結合的教學內容在師范教育和在職培訓課程,組織師范生觀摩課堂實況以及及時做好記錄和反思,一線教師開展以數形結合為主體的教研活動、創建相關內容的數學討論組,為師范生進行相應的講座等等活動。

      師范生、一線教師在進行小學數學教學中如何應用數形結合研究前后,要對整個小學階段的教材編排有一個相對完整的系統性的認識和梳理,保障數形結合在教學應用的前提。以下是以小學數學(人教版)三年級上冊為例,數形結合思想知識分布表(如表所示4-1):
      表4-1 數形結合思想在小學數學(人教版)三年級上冊知識分布表 知識領域 知識點 教材對應位置 具體分析 采用數形結合的類型 數與代數 時、分、秒 P3 通過觀察時鐘發現時、分、秒的規律 以形助數 毫米、分米的認識 P21 通過測量數學書認識新的測量單位——毫米 倍的認識 P51 引導學生操作,發現白蘿卜是胡蘿卜的5倍 倍的應用 P52 分析問題引導學生作圖,來計算出象棋的價格是多少 多位數乘一位數 P57 借助小棒初步理解多位數乘一位數的算法和算理 分數的初步認識 P91、92 選擇不同圖形感受幾分之一和幾分之幾的含義 多位數乘一位數的應用 P71、72 解讀問題畫出圖形圖、線段圖,再列算式計算。

      數形互助 分數的簡單計算 P96 圓形與分數的相互轉化理解分數加法的算法和算理 分數的簡單應用 P101 分析題意畫出圖形列出式子計算出男女生各有多少人 圖形與幾何 長方形和正方形 P79 觀察長方形和正方形發現他們的幾何特點 以形助數 長方形和正方形的周長的應用 P86 通過畫圖可得出多種拼接成圖形的可能性,從中分析得到拼成圖形的最短周長 以形助數 長方形和正方形的周長 P85 計算得出長方形和正方形的周長發現它們的計算方法 以數解形 數學廣角 集合 P104 依題畫出集合圖,引導學生分析圖形列式解答 數形互助 以三年級上冊為例,根據對數學材料的整理,“以形助數”的內容占據大多數。其中上好一堂數學課,選擇的圖形也是非常重要的。例如在教材中,分數的初步認識中認識幾分之一和幾分之幾時分別選取的是一個圓形和一個彩帶。圓是個特殊的圖形,它有無數條對稱軸,能夠很好的通過對折一次兩次甚至五六次都能很好地平均分這個圓,而彩帶能讓學生最直觀的方式數清幾分之幾。因此在教學中選擇最直觀的圖形能為教學起到事半功倍的作用。不僅僅是三年級,第一學段中根據具體教材的編排內容確定采用哪種數形結合的類型來進行整理教材。教師要對教材內容有一個相對全面系統的認識,設計數形結合思想的教學實施進程。

      五、結論與局限 (一)結論 通過研究調查和對教材內容分析,結合相關文獻分析,對數形結合在小學數學教學應用的研究,發現一些問題并提出相對應的策略如下。

      一是教師地位容易被忽略,重視對師范生和一線教師的在職培訓課程對專業素養和數形結合內容的增加。數形結合在小學數學教學中應用中是以教師為主導,學生為主體開展教學活動。在大多數文獻中提及到的教學都是數形結合的形式或者是如何在教學中應用,往往忽略了教師自身在教學過程的作用。除了教學中如何應用數形結合,教師最應該先提升自身對數形結合的認識和專業素養,才會有意識地對學生進行數形結合思想的滲透和培養。能夠有效利用數形結合使得問題簡單化、直觀化成為學生學習的墊腳石,而不是為了按照教材設計進行運用教學成為絆腳石。

      二是數形結合重視程度有待提高,整理分析教材建構整體認知,完善教學體系。在整個小學數學教學過程中,無論是教師教還是學生學都離不開數形結合。整個教學領域中,對數形結合相關研究較少,尤其是針對小學數學階段的研究缺少深入探究,說明不夠重視數形結合思想在小學數學當中的應用,對該思想的認識也不夠全面和透徹。而且教師在教學中會運用數形結合往往不夠,缺乏對數形結合正確有效的利用會導致課堂變得拖沓復雜。教師對數形結合思想的意識有待提高,不是為了解決問題需要用到數形結合才使用這種思想方法,而是聯系實際將這一思想滲透于學習、生活的各個方面。

      三是從學生角度出發,有效運用直觀方式,把握數形結合促進教學。數形結合呈現的方式多種多樣,例如在解決問題過程中需要將問題中的數值轉化成圖形,又或者是在概念課中借助實物來理解數的含義等等。教師應合理有效運用數形結合幫助學生理解抽象的數學概念,體會數學意義,注重過程和結果。第一學段的數學并不會難,學生學起來比較有成就感。課堂如果變得單一抽象,會讓學生產生厭煩的情緒。積極調動課堂,讓學生在探究活動過程當中加深對知識點的印象和體會,真正做到學數學、懂數學、用數學,以此激發學生對數學學習的興趣和熱情。

      (二)局限 本文對數形結合在小學數學教學中應用做了初步研究,由于研究水平有限對研究的深度和廣度都不夠,致使本研究還存在一些有待深入研究的問題:
      首先,本次采訪的對象是一、二、三、五年級的在職數學教師,這并不能代表整個教師水平。針對不同學歷背景、不同教齡、不同年級的教師對數形結合的看法存在差異,有待進一步加大研究的范圍。

      其次, 本研究主要從教師角度進行探究,缺少從學生角度切入看待數形結合。針對學生對數形結合的認知、學習、運用的情況存在差異,有待學生對數形結合進行相關研究。

      最后,數形結合在小學數學教學中應用的研究時間有限,缺少一個長期實踐、觀察、研究的結果,來對本研究進行檢驗和修正。

      總之,數形結合的研究有待經過時間不斷修正和驗證的過程,它運用在數學學習的方方面面當中。有效的利用數形結合能使得學習達到事半功倍的效果,最重要的是學習數學不僅僅是要教會學生會用數學,而是體會和理解數學,讓學生感受數學的神奇和樂趣促進學習的興趣。

      參 考 文 獻 一.著作 [1] Natalia Marmasse, Aggelos Bletsas, Stefan Marti. Numerical Mechanisms and Children’s Concept of Numbers. http://alumni.media.mit.edu/~stefanm/society/som_final.html,2000 二.期刊論文 [1]王友蓮.“數形結合”思想在小學數學教學中的應用分析[J].中國校外教育,2018(33):86-87. [2]王海中.數形結合思想在小學數學教學中的實踐運用研究[J].課程教育研究,2019(44):43-44. [3]石江山.小學數學教學中數形結合思想的滲透研究[J].課程教育研究,2019(45):160. [4]江忠.巧用數形結合 優化小學數學教學[J].教育與教學研究,2018,32(01):101-106+127. [5]谷淑萍.數形結合在小學數學教學中的運用[J].中國校外教育,2019(31):48-49 [6]汪渭芳.“數形結合”天地寬——數形結合思想在小學數學教學中的滲透與應用[J].小學教學參考,2010(17):30-31. [7]宋英海.數形結合思想在初中數學解題中的應用[J].山西師范大學學報(自然科學版),2015,29(S1):16-17. [8]張冬梅.數形結合思想在小學數學教學中的體現[J].課程教育研究,2019(52):28. [9]張英.數形結合思想在小學數學教學中的滲透研究[J].中國農村教育,2019(32):113. [10]林麗華.關于小學數學教學中數形結合思想的滲透分析[J].課程教育研究,2019(48):33. [11]林麗萍.“數形結合”思想在小學低段數學教學中的運用[J].西部素質教育,2017,3(02):199-200. [12]羅增儒,李文銘.數學教學論[M].西安:陜西師范大學,2003.224 [13]徐斌艷.數學教育展望[M].上海:華東師范大學出版社,2011. [14]雷正風.數形結合思想在小學數學教學中的應用策略[J].名師在線,2019(32):62-63. 三.學位論文 [1]湯波. 數形結合思想在小學三年級數學教學中的應用研究[D].南京師范大學,2018. [2]胡穎. 數形結合在小學第二學段教學中的運用研究[D].江蘇大學,2019. 附錄 教師訪談記錄:
      1. 您認為“數形結合”在小學重要嗎? W教師:非常重要。

      X教師:重要。

      Y教師:重要的。

      Z教師:重要。

      2. 上課時您會使用“數形結合”進行教學嗎?哪種課型運用較多呢? W教師:會使用,特別是在計算教學中都會有效利用。

      X教師:
      會的。抽象課,如概念課,在解決實際問題也會用。

      Y教師:由于我長期在低年級,低年級的孩子在學習數學,就要將復雜問題簡單化,都需要數形結合。低年級的計算課和解決問題常常用到數形結合。

      Z教師:會的。新課、練習課、復習課。

      3. 在備課時您會將“數形結合”寫進教學目標嗎? W教師:會把“數形結合”作為一種數學思想來培養學生進行學習。

      X教師:會。

      Y教師:有的時候會。

      Z教師:不經常。

      4. 您是否梳理過教材中蘊含數形結合思想方法的知識點? W教師:目前還未梳理。

      X教師:沒有。

      Z教師:是的。

      5. 您覺得在教學中運用“數形結合”存在哪些問題呢? W教師:學生在應用“數形結合”解題時,經常由于畫圖不規范導致解題失誤。選擇圖形的不同,會引起解題難度的差異。

      X教師:
      學生獨立畫圖難 Y教師:數形結合實質是將抽象和直觀圖形相結合,實際教學中數和形之間的相互轉化對于低年級孩子來說較難。

      Z教師:學生不愿動手根據題意畫出圖示來幫助理解題意進行解題,部分學生也存在無法正確理解圖示所表達的意思。

      6. 今后的教學中,您會如何運用“數形結合”幫助教學? W教師:通過有效選擇圖形直接看出題目的本質,將抽象問題轉化為具體圖形來幫助學生理解知識,掌握知識,消化知識。

      X教師:要站在學生的角度想如何能畫出圖形幫助理解與思考問題 Y教師:加強自身學習,引導孩子對數和形之間的轉化 Z教師:在日常教學過程中讓學生養成勤于動手,熱于畫圖的良好習慣來幫助解題。培養學生看懂圖示中存在的數量關系,可以實現圖示和文字間的轉化從而進行解題。

      6. 在進行師范教育時是否有學習數形結合應用的課程?如果有,課程安排的多嗎? W教師:有數形結合課并且每周都有安排課時。

      X教師:有相關課程,多。

      Y教師:有,對于數形結合有上過幾個課時的內容。

      Z教師:有進行數形結合相關課程,每周都有安排課程 7. 目前教師在職培訓的課程中,是否需要增加數形結合運用的教育內容? W教師:建議可以適當增加 X教師:需要。

      Y教師:需要增加一些。

      Z教師:需要的。

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